LycéeBac

LEÇON · 2AC

المتراجحات وترتيب الأعداد

المتراجحات وترتيب الأعداد

math-arمحتوى تعليمي أصلي

Objectifs d’apprentissage

التمييز بين المساواة والمتراجحة واستعمال الرموز < و> و≤ و≥ عند الحاجة.

حل متراجحات بسيطة من الشكل x+a<b أو ax<b مع a موجب.

تمثيل مجموعة حلول متراجحة بسيطة على مستقيم الأعداد.

Introduction

المتراجحة تصف مقارنة قد تكون صحيحة لقيم كثيرة، لا قيمة واحدة فقط. مثلا x<4 تعني كل عدد أصغر من 4. سنحل المتراجحات البسيطة ونمثل الحلول على مستقيم مدرّج.

Cours

1. قراءة الرموز

الرمز \(<\) يعني «أصغر من»، والرمز \(>\) يعني «أكبر من». أما \(\le\) فيشمل المساواة، وكذلك \(\ge\). العبارة \(x<4\) تقبل مثلًا 3 و0 و−2، لكنها لا تقبل 4.

2. حل متراجحة بإضافة أو طرح عدد

لحل \(x+3<8\)، نطرح 3 من الطرفين فنحصل على \(x<5\). وبالمثل، \(x-4\ge2\) تعطي \(x\ge6\). عند إضافة العدد نفسه أو طرحه من الطرفين يبقى اتجاه المتراجحة كما هو.

3. الضرب والقسمة

إذا كان المعامل موجبا، يبقى الاتجاه كما هو: \(2x<10\Rightarrow x<5\). عند الضرب أو القسمة على عدد سالب يجب عكس اتجاه الرمز؛ مثلا \(-2x<6\) تعطي \(x>-3\) بعد القسمة على −2. هذا من أهم مواضع الخطأ.

4. تمثيل الحل

على مستقيم الأعداد، إذا كان x<5 نضع دائرة مفتوحة عند 5 ونظلل جهة اليسار؛ لأن 5 نفسه غير مقبول. إذا كان x≤5 نضع نقطة مغلقة عند 5 لأن القيمة 5 ضمن الحلول. اتجاه التظليل يوضح جميع القيم الممكنة.

Exemple résolu pas à pas

حل المتراجحة \(3x-2\le10\) ومثّل حلولها.

  1. نضيف 2 للطرفين: \(3x\le12\).

  2. نقسم الطرفين على 3، وهو عدد موجب، فلا يتغير الاتجاه: \(x\le4\).

  3. العدد 4 حل لأنه يجعل الطرفين متساويين، لذلك نستخدم نقطة مغلقة عند 4.

  4. كل عدد أصغر من 4 حل أيضا؛ نمثل الجهة اليسرى من المستقيم.

Conclusion : مجموعة الحلول هي كل الأعداد التي تحقق \(x\le4\).

مثال على مستقيم الأعداد

تُستخدم النقطة والتظليل لتوضيح مجموعة الحلول؛ النقطة المحددة هنا مرجع عند 4.

حل المتراجحة

انتبه إلى إشارة العدد الذي تقسم عليه.

  1. بسّط

    اجمع أو اطرح العدد من الطرفين.

  2. اقسم

    افحص إشارة المعامل قبل القسمة.

  3. اعكس عند السالب

    القسمة على عدد سالب تعكس اتجاه الرمز.

  4. مثّل

    حد مفتوح للرمز < أو >، ومغلق للرمز ≤ أو ≥.

Exemples guidés

  1. \(x-6>2\Rightarrow x>8\).
  2. \(5x\le20\Rightarrow x\le4\).
  3. \(-3x\ge9\Rightarrow x\le-3\) لأننا عكسنا الاتجاه عند القسمة على −3.
  4. إذا كانت الميزانية لا تتجاوز 100 درهم وسعر كل تذكرة 20 درهما، فإن عدد التذاكر n يحقق \(20n\le100\)، أي \(n\le5\).

Activités d’apprentissage

  1. هل العدد 5 حل للمتراجحة x<5؟ علل.
  2. حل x+7≥12 ثم اذكر ثلاثة حلول ممكنة.
  3. فسر لماذا نعكس الرمز عند القسمة على عدد سالب باستعمال مثال −2x<6.

Exercices d’application

  1. حل \(x+9<14\).
  2. حل \(4x\ge28\).
  3. حل \(-5x<15\).
  4. مثّل حلول \(x>−2\) على مستقيم الأعداد، وبيّن هل −2 نفسه ضمن الحلول.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. ماذا تعني x≤3؟

كل قيمة أصغر من 3 أو تساوي 3.

2. متى نعكس اتجاه المتراجحة؟

عند ضرب الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب.

3. ما الفرق بين دائرة مفتوحة ونقطة مغلقة في التمثيل؟

المفتوحة تعني أن الحد غير داخل في الحل؛ المغلقة تعني أنه داخل في الحل.

Correction

ضع خطا تحت معامل x قبل القسمة، وحدد إشارته. بعد الحل اختبر قيمة سهلة مثل 0، ثم اختر نقطة مفتوحة أو مغلقة حسب الرمز.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    نطرح 9: x<5.

  2. Exercice 2

    نقسم على 4 الموجب: x≥7.

  3. Exercice 3

    نقسم على −5 ونعكس الاتجاه: x>−3.

  4. Exercice 4

    دائرة مفتوحة عند −2 وتظليل جهة اليمين؛ −2 ليس حلا لأن المتراجحة صارمة.

À retenir

نحل المتراجحة مثل المعادلة في معظم الخطوات، لكن نعكس اتجاه الرمز عند الضرب أو القسمة على عدد سالب. المستقيم يوضح الحدود والجهة التي تحتوي الحلول.

Référence pédagogique

درس أصلي للتعلم والتدريب بمواءمة عامة لموضوعات رياضيات السلك الإعدادي المغربي؛ ينبغي مراجعته مقابل التوزيع الرسمي للأستاذ.

Consulter la référence