LEÇON · 2BAC
Étude du sens de variation à l’aide de la dérivée
Objectifs d’apprentissage
Calculer ou exploiter le signe de la dérivée d’une fonction.
Construire un tableau de variations sur un intervalle adapté.
Distinguer un point critique d’un extremum effectivement établi.
Introduction
La dérivée permet de relier le signe de f′ à l’évolution d’une fonction sur un intervalle.
Cours
Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f′(x)≥0 sur I implique que f est croissante, et f′(x)≤0 implique qu’elle est décroissante. Une dérivée strictement positive donne une croissance stricte. Les zéros de f′ sont des candidats à l’étude, mais ne suffisent pas seuls à prouver un extremum : il faut étudier le changement de signe de f′ ou comparer les valeurs pertinentes. Un tableau de variations doit préciser les intervalles et les valeurs ou limites aux bornes lorsque celles-ci sont nécessaires.
Méthode guidée
Démarche : définir les notions, justifier chaque étape, puis vérifier que la conclusion répond précisément à la question « Étude du sens de variation à l’aide de la dérivée ».
Exemple résolu pas à pas
Construire un tableau de variations
Calculer f′(x)=2x−6.
Résoudre f′(x)=0 : x=3.
Étudier le signe : négatif à gauche de 3, positif à droite.
Calculer f(3)=9−18+5=−4 et conclure au minimum.
Conclusion : f décroît jusqu’à 3 puis croît; son minimum global vaut −4 en x=3.
Parcours de résolution
Suivez ces étapes et vérifiez chaque résultat avant de conclure.
- Dériver
Calculer f′ et simplifier.
- Résoudre
Trouver les points où f′ s’annule ou n’existe pas.
- Étudier le signe
Déterminer le signe sur chaque intervalle.
- Conclure
Rédiger les variations et calculer les valeurs utiles.
Exemples guidés
- Pour f(x)=x²−4x+1, f′(x)=2x−4 : la fonction décroît avant x=2 et croît après x=2.
- Pour f(x)=x³, f′(0)=0 mais la fonction reste croissante de part et d’autre de 0; ce point n’est pas un extremum.
Activités d’apprentissage
- Déterminer le signe de f′(x)=3x²−6x.
- Construire le tableau de variations de f(x)=x²−6x+5 sur ℝ.
- Expliquer pourquoi f′(a)=0 ne suffit pas à conclure à un maximum ou minimum.
Exercices d’application
- Étudier les variations de f(x)=x²−6x+5 sur ℝ.
Vérifie que tu as compris
Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.
1. Que permet de conclure f′>0 sur un intervalle ?
La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Un zéro de f′ est-il toujours un extremum ?
Non; il faut étudier le signe de la dérivée autour du point ou établir autrement l’extrémum.
Correction
f′(x)=2x−6. Elle est négative si x<3, nulle en 3 et positive si x>3. Ainsi f décroît sur ]−∞,3] puis croît sur [3,+∞[. Son minimum est f(3)=−4.
Corrigés des exercices d’application
- Exercice 1
La dérivée s’annule en 3 et change de signe de − à +; il s’agit d’un minimum.
- Exercice 2
Pour f(x)=x³, f′(0)=0 mais le signe ne change pas : aucun extremum en 0.
À retenir
Le signe de la dérivée donne les variations; un extremum se justifie par le changement de signe ou une comparaison adaptée.
Référence pédagogique
Leçon pédagogique originale ; vérifier l'alignement avec le programme officiel et le cours de l'enseignant.
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