LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Étudier une fonction à partir de sa dérivée

mathematiquesContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Calculer ou utiliser la dérivée d’une fonction sur son domaine.

Déduire les intervalles de croissance et de décroissance à partir du signe de la dérivée.

Présenter un tableau de variations cohérent avec les résultats obtenus.

Introduction

La dérivée renseigne sur la variation locale d’une fonction. Son signe permet, sous les conditions appropriées, d’étudier où la fonction est croissante ou décroissante.

Cours

Déterminez d’abord le domaine de définition de la fonction, puis calculez sa dérivée en appliquant les règles de dérivation du cours. Résolvez ensuite f'(x)=0 et repérez les points où la dérivée n’existe pas mais où la fonction est définie. Étudiez le signe de f' sur chaque intervalle du domaine. Si f'(x) est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si elle est négative, f y est décroissante. Les points où la dérivée s’annule sont des candidats à un extremum, mais il faut étudier le changement de signe pour conclure. Enfin, reportez les intervalles et les valeurs pertinentes dans un tableau de variations, sans inclure les points hors domaine.

Exemples guidés

  1. Pour f(x)=x²−4x, f'(x)=2x−4 ; la dérivée est négative si x<2 et positive si x>2, donc la fonction décroît puis croît.
  2. Le fait que f'(a)=0 ne garantit pas à lui seul un maximum ou un minimum : le signe peut ne pas changer.

Activités d’apprentissage

  1. Calculez la dérivée de fonctions polynomiales simples.
  2. Construisez un tableau de signe pour f'(x).
  3. Comparez le signe de la dérivée et les variations représentées dans un tableau.

Exercices d’application

  1. Étudiez les variations de f(x)=x²−6x+5 sur ℝ.
  2. Expliquez pourquoi il faut vérifier le domaine avant de construire le tableau.

Correction

f'(x)=2x−6. Elle est négative pour x<3, nulle en 3 et positive pour x>3. La fonction décroît sur ]−∞,3] puis croît sur [3,+∞[ ; elle atteint un minimum f(3)=−4. Le domaine détermine les intervalles sur lesquels la fonction et sa dérivée peuvent être étudiées.

À retenir

Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier son signe, conclure sur les variations puis vérifier les extrema et les bornes du domaine.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme et aux consignes de l'enseignant

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