LEÇON · 1BAC
Étudier le signe d'un produit factorisé
Objectifs d’apprentissage
Repérer les valeurs qui annulent les facteurs.
Déduire le signe d'un produit et résoudre une inéquation simple.
Introduction
Pour résoudre une inéquation factorisée, on étudie le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par ses zéros.
Cours
Considérons (x−1)(x+2). Les zéros sont 1 et −2. Le produit est positif lorsque les deux facteurs ont le même signe et négatif lorsqu'ils ont des signes opposés. En ordonnant les zéros −2 puis 1, le produit est positif sur ]−∞,−2[ et ]1,+∞[, négatif sur ]−2,1[ et nul aux deux bornes. Ainsi (x−1)(x+2)≥0 a pour solution ]−∞,−2]∪[1,+∞[. Pour une inégalité stricte, les zéros sont exclus.
Exemples guidés
- x²−4≥0 équivaut à (x−2)(x+2)≥0.
- (x−3)(x+1)<0 est vérifiée entre −1 et 3.
Activités d’apprentissage
- Trouver les zéros de (x−4)(x+2).
- Déterminer le signe de (x−1)(x−5).
Exercices d’application
- Résoudre (x−2)(x+3)≤0.
- Résoudre (2x−1)(x+4)>0.
Correction
La première inéquation est vérifiée sur [−3,2]. Pour la seconde, les zéros sont −4 et 1/2 ; le produit est positif à l'extérieur, donc ]−∞,−4[∪]1/2,+∞[.
À retenir
Factoriser, ordonner les zéros, déterminer le signe sur chaque intervalle, puis traiter correctement les bornes selon l'inégalité.
Référence pédagogique
Leçon originale alignée sur les apprentissages du lycée qualifiant marocain
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