LycéeBac

LEÇON · 1BAC

Domaine de définition et images d’une fonction

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de son expression.

Calculer l’image d’un nombre et résoudre une équation simple f(x)=k.

Introduction

Avant d’étudier une fonction, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles son expression a un sens.

Cours

Pour une fonction polynomiale, le domaine est généralement ℝ. Pour f(x)=1/(x−2), il faut exclure x=2 : Df=ℝ\{2}. Pour g(x)=√(x+3), il faut x+3≥0, donc Dg=[−3,+∞[. L’image de a est f(a), obtenue en remplaçant chaque x par a. Résoudre f(x)=k revient à chercher les antécédents de k. Toujours vérifier les restrictions du domaine après une résolution.

Exemples guidés

  1. f(x)=3x−1 : f(2)=5.
  2. h(x)=1/(x+4) : Dh=ℝ\{−4}.
  3. p(x)=√(5−x) : Dp=]−∞,5].

Activités d’apprentissage

  1. Déterminer le domaine de q(x)=1/(x²−9).
  2. Calculer l’image de −2 par f(x)=x²+2x.
  3. Trouver les antécédents de 4 par g(x)=2x.

Exercices d’application

  1. Déterminer le domaine de f(x)=√(2x−6).
  2. Pour h(x)=1/(x−1), résoudre h(x)=2.

Correction

Pour q, x²−9≠0 donc x≠−3 et x≠3. f(−2)=4−4=0. Pour g(x)=4, 2x=4 donc x=2. Le domaine de √(2x−6) impose x≥3. Enfin 1/(x−1)=2 donne x−1=1/2, donc x=3/2.

À retenir

Les dénominateurs ne doivent pas être nuls et les radicandes de racines carrées doivent être positifs ou nuls. Calculer une image consiste à substituer la valeur dans l’expression.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale rédigée pour LyceeBac ; vérifier l’alignement exact avec les documents officiels et le cours de l’enseignant.

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