LEÇON · 1BAC
Dérivée en un point et équation de la tangente
Objectifs d’apprentissage
Interpréter le nombre dérivé comme coefficient directeur d'une tangente.
Écrire l'équation de la tangente lorsque la dérivée et l'image sont connues.
Introduction
La dérivée relie l'évolution locale d'une fonction à la pente de sa tangente en un point.
Cours
Lorsque f est dérivable en a, le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est y=f'(a)(x−a)+f(a). Pour une fonction polynomiale, on dérive terme à terme à l'aide des règles usuelles, puis on calcule f(a) et f'(a). Vérifier l'équation en remplaçant x par a : l'ordonnée obtenue doit être f(a). Le nombre dérivé peut être positif, négatif ou nul ; son signe décrit la pente locale, pas à lui seul les variations globales.
Exemples guidés
- Pour f(x)=x², f'(x)=2x. En a=1, la tangente est y=2(x−1)+1=2x−1.
- Si f'(a)=0, la tangente est horizontale, mais il faut étudier la fonction pour savoir s'il s'agit d'un extremum.
Activités d’apprentissage
- Calculer f'(x) pour f(x)=x²+3x.
- Déterminer l'équation de la tangente à f(x)=x² en a=2.
- Vérifier que le point de tangence appartient à la droite obtenue.
Exercices d’application
- Déterminer la tangente à f(x)=x²−1 au point d'abscisse 1.
- Interpréter le signe de f'(−2) pour f(x)=x².
Correction
f'(x)=2x, f(1)=0 et f'(1)=2 ; la tangente est y=2(x−1)=2x−2. Pour x², f'(−2)=−4 : la pente de la tangente est négative en ce point.
À retenir
Calculer f(a) et f'(a), puis utiliser y=f'(a)(x−a)+f(a) et vérifier le point de tangence.
Référence pédagogique
Leçon pédagogique originale alignée sur les apprentissages du lycée qualifiant marocain ; vérifier les conventions du cours
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