LEÇON · 1BAC
Fonction du second degré : sommet et variations
Objectifs d’apprentissage
Mettre une fonction du second degré sous forme canonique.
Déduire le sommet et le sens des variations de la parabole.
Introduction
La forme canonique d'un trinôme permet de lire rapidement son extremum et de tracer sa parabole.
Cours
Pour f(x)=ax²+bx+c avec a non nul, on peut écrire f(x)=a(x−α)²+β, où α=−b/(2a) et β=f(α). Le sommet de la parabole est S(α,β). Si a est positif, la fonction décroît jusqu'à α puis croît ; si a est négatif, elle croît puis décroît. La forme canonique est aussi utile pour résoudre f(x)=k ou étudier le signe.
Exemples guidés
- f(x)=x²−4x+1=(x−2)²−3 : le sommet est S(2,−3) et le minimum vaut −3. Pour g(x)=−2(x+1)²+5, le sommet est (−1,5) et la fonction admet un maximum égal à 5.
Exercices d’application
- Déterminer le sommet et le minimum de f(x)=2x²+8x+1.
Correction
x²+6x+2=(x+3)²−7. La seconde fonction croît jusqu'à x=3 puis décroît. Pour f, α=−8/4=−2 et f(−2)=−7 ; le sommet est (−2,−7), minimum −7.
À retenir
La forme canonique rend visibles le sommet, l'extremum et les variations ; toujours vérifier α=−b/(2a).
Référence pédagogique
Leçon pédagogique originale alignée sur des notions courantes du lycée qualifiant marocain ; vérification finale avec le programme officiel et le cours de l'enseignant recommandée.
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