LEÇON · 1BAC
Produit scalaire : calcul et orthogonalité
Objectifs d’apprentissage
Calculer un produit scalaire à partir des normes et de l’angle.
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.
Introduction
Le produit scalaire transforme deux vecteurs en un nombre réel et permet notamment de tester la perpendicularité.
Cours
Pour deux vecteurs u et v non nuls formant un angle θ, u·v=||u|| ||v|| cos θ. Dans un repère orthonormé, si u=(x,y) et v=(x',y'), alors u·v=xx'+yy'. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. La formule ||u||²=u·u=x²+y² permet de retrouver la norme. Ne confonds pas produit scalaire, qui est un nombre, et produit vectoriel, qui n’est pas utilisé ici.
Exemples guidés
- (2,3)·(4,−1)=8−3=5.
- (1,2)·(−4,2)=−4+4=0 : les vecteurs sont orthogonaux.
Activités d’apprentissage
- Calculer (−2,5)·(3,1).
- Tester l’orthogonalité de (2,−3) et (3,2).
Exercices d’application
- Déterminer m pour que (m,2) et (4,−6) soient orthogonaux.
- Calculer la norme du vecteur (−3,4).
Correction
Le premier produit vaut −6+5=−1. Le second vaut 2×3+(−3)×2=0. Pour m, 4m−12=0 donc m=3. La norme de (−3,4) vaut √(9+16)=5.
À retenir
Dans un repère orthonormé, multiplier les coordonnées correspondantes puis additionner. Un produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls.
Référence pédagogique
Leçon pédagogique originale rédigée pour LyceeBac ; vérifier l’alignement exact avec les documents officiels et le cours de l’enseignant.
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