LEÇON · 2BAC
Limites finies et infinies
Objectifs d’apprentissage
Calculer les limites usuelles d'une fonction.
Repérer les formes indéterminées et choisir une transformation adaptée.
Introduction
La limite décrit le comportement d'une fonction lorsque la variable se rapproche d'une valeur ou tend vers l'infini.
Cours
Pour une somme, un produit ou un quotient, on applique les règles opératoires lorsque leurs conditions sont satisfaites. Les limites usuelles incluent lim(x→+∞)1/x=0, lim(x→+∞)x=+∞ et lim(x→a)x=a. Les formes ∞−∞, 0×∞, 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées : il faut factoriser, mettre au même dénominateur, utiliser le conjugué ou comparer les termes dominants. Pour une fonction rationnelle à l'infini, les degrés du numérateur et du dénominateur donnent souvent la limite.
Méthode guidée
Avant de substituer une valeur, vérifiez que la fonction est définie au voisinage du point. Si la substitution donne une forme déterminée, appliquez les règles de limites. Pour 0/0, factorisez, simplifiez ou utilisez une identité; à l’infini, comparez les termes dominants.
Exemple résolu pas à pas
Lever une forme indéterminée par factorisation
Calculer limₓ→1 (x²−1)/(x−1) donne 0/0, donc la substitution directe ne suffit pas.
Factoriser : x²−1=(x−1)(x+1). Pour x≠1, le quotient vaut x+1.
Quand x tend vers 1, x+1 tend vers 2; la limite vaut donc 2.
Conclusion : limₓ→1 (x²−1)/(x−1)=2.
Schéma de méthode
Utilisez ces étapes comme une checklist de résolution.
- Vérifier le domaine
La fonction est-elle définie près du point étudié ?
- Substituer
Si la limite est déterminée, appliquer les règles usuelles.
- Transformer
Pour 0/0, factoriser ou rationaliser; à l’infini, comparer les degrés.
- Contrôler
Réinjecter la transformation et vérifier la limite obtenue.
Exemples guidés
- lim(x→+∞)(3x²+1)/(x²−4)=3.
- lim(x→+∞)5/x=0.
- Pour √(x²+1)−x, multiplier par le conjugué donne 1/(√(x²+1)+x), donc la limite vaut 0.
Activités d’apprentissage
- Calculer lim(x→+∞)(2x³−1)/(x³+4).
- Transformer √(x²+4)−x en quotient sans différence de racines.
- Expliquer pourquoi ∞−∞ ne donne pas automatiquement 0.
Exercices d’application
- Calculer limₓ→2 (x²−4)/(x−2).
- Calculer limₓ→+∞ (3x²−1)/(2x²+x).
Vérifie que tu as compris
Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.
1. Que signifie 0/0 lors d’un calcul de limite ?
C’est une forme indéterminée : il faut transformer l’expression.
2. Quel terme domine 3x²−1 lorsque x→+∞ ?
Le terme 3x²; les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant x².
Correction
La première limite vaut 2 en divisant par x. La seconde vaut +∞ car le numérateur est de degré supérieur au dénominateur et l'expression est équivalente à x.
Corrigés des exercices d’application
- Exercice 1
Factoriser x²−4=(x−2)(x+2); la limite vaut 2+2=4.
- Exercice 2
Diviser numérateur et dénominateur par x² : la limite vaut 3/2.
À retenir
Identifier d'abord la forme de la limite ; transformer toute forme indéterminée avant d'appliquer une règle.
Référence pédagogique
Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant
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