LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître la continuité sur un intervalle.

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour établir l'existence d'une solution.

Introduction

La continuité formalise l'idée d'une courbe que l'on peut tracer localement sans lever le crayon.

Cours

Une fonction f est continue en a lorsque lim(x→a)f(x)=f(a). Les fonctions polynomiales sont continues sur ℝ ; une fonction rationnelle est continue là où son dénominateur ne s'annule pas. Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k. En particulier, si f(a)f(b)<0, il existe au moins une racine dans ]a,b[. Pour conclure à l'unicité, il faut une information supplémentaire, par exemple la stricte monotonie.

Méthode guidée

Pour montrer qu’une équation f(x)=0 possède une solution dans [a,b], vérifiez que f est continue sur le segment et que 0 est entre f(a) et f(b). Pour prouver l’unicité, ajoutez par exemple une monotonie stricte.

Exemple résolu pas à pas

Établir l’existence puis l’unicité d’une racine

  1. Considérons f(x)=x³+x−1 sur [0,1]. Le polynôme est continu sur ce segment.

  2. f(0)=−1 et f(1)=1; 0 est entre ces valeurs. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une racine.

  3. f′(x)=3x²+1>0 sur [0,1], donc f est strictement croissante : la racine est unique.

Conclusion : L’équation x³+x−1=0 possède exactement une solution dans ]0,1[.

Schéma de méthode

Utilisez ces étapes comme une checklist de résolution.

  1. Continuité

    Vérifier que f est continue sur [a,b].

  2. Changement de signe

    Contrôler f(a)≤0≤f(b), ou l’ordre inverse.

  3. Existence

    Conclure qu’au moins une racine est dans [a,b].

  4. Unicité

    Étudier la monotonie stricte ou utiliser un argument séparé.

Exemples guidés

  1. f(x)=x³+x−1 est continue sur [0,1], avec f(0)=−1 et f(1)=1 : elle possède au moins une racine dans ]0,1[.
  2. Une fonction strictement croissante ne peut couper l'axe horizontal qu'une seule fois.

Activités d’apprentissage

  1. Vérifier les hypothèses du théorème pour f(x)=x²−2 sur [1,2].
  2. Expliquer la différence entre existence et unicité.

Exercices d’application

  1. Montrer que x²−2=0 a une solution dans [1,2], puis préciser pourquoi elle est unique.
  2. Montrer que x³+x−3=0 possède une unique solution dans [1,2].

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quelles deux vérifications suffisent à appliquer le TVI à f(x)=0 ?

La continuité sur [a,b] et un changement de signe ou plus généralement 0 entre f(a) et f(b).

2. Le TVI prouve-t-il l’unicité ?

Non; une condition supplémentaire comme la stricte monotonie peut la prouver.

Correction

La fonction x↦x³+x−4 est continue ; f(1)=−2 et f(2)=6, donc le théorème assure une racine dans ]1,2[. Comme f'(x)=3x²+1>0, f est strictement croissante et cette racine est unique.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    f(x)=x²−2 est continue; f(1)=−1 et f(2)=2, donc il existe une racine. Sur [1,2], f′(x)=2x>0, donc elle est unique.

  2. Exercice 2

    f est continue, f(1)=−1 et f(2)=7; existence par TVI. De plus f′(x)=3x²+1>0, donc unicité.

À retenir

Vérifier continuité et encadrement des valeurs ; distinguer soigneusement existence et unicité.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

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