LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Dérivation et étude des variations

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Calculer une dérivée à l'aide des règles usuelles.

Relier le signe de la dérivée aux variations de la fonction.

Introduction

La dérivée mesure le taux de variation instantané et fournit un outil pour étudier les variations d'une fonction.

Cours

Les règles usuelles sont (u+v)'=u'+v', (uv)'=u'v+uv', (u/v)'=(u'v−uv')/v² si v≠0 et (u∘v)'=(u'∘v)·v'. Sur un intervalle, si f'≥0 alors f est croissante ; si f'≤0 alors f est décroissante. Les points où f'=0 ou n'existe pas doivent être étudiés avant de dresser le tableau de variations. Un zéro de la dérivée ne garantit pas à lui seul un extremum.

Méthode guidée

Calculez f′, résolvez f′(x)=0 pour trouver les points critiques, puis faites un tableau de signes de f′. La fonction croît là où f′>0 et décroît là où f′<0. Calculez les valeurs aux points critiques pour établir les extremums.

Exemple résolu pas à pas

Construire un tableau de variations

  1. Pour f(x)=x³−3x, on a f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1).

  2. Le signe de f′ est positif sur ]−∞,−1[, négatif sur ]−1,1[, puis positif sur ]1,+∞[.

  3. f(−1)=2 et f(1)=−2; f atteint un maximum local en −1 et un minimum local en 1.

Conclusion : f croît sur ]−∞,−1], décroît sur [−1,1], puis croît sur [1,+∞[.

Exemples guidés

  1. Pour f(x)=x²−4x, f'(x)=2x−4 ; f décroît jusqu'à 2 puis croît après 2.
  2. Pour g(x)=1/x sur ]0,+∞[, g'(x)=−1/x²<0, donc g est décroissante.

Activités d’apprentissage

  1. Dériver f(x)=x³−3x.
  2. Étudier le signe de f'(x)=3x²−3.
  3. Expliquer pourquoi f'(a)=0 ne suffit pas pour conclure à un maximum.

Exercices d’application

  1. Étudier les variations de f(x)=x²−4x+1 sur ℝ.
  2. Déterminer les intervalles de croissance/décroissance de f(x)=x³−3x.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Que détermine le signe de f′ ?

Le sens de variation de f.

2. Pourquoi f′(a)=0 ne suffit-il pas ?

Il faut vérifier le changement de signe de f′ pour établir un extremum local.

Correction

f'(x)=2x−6 s'annule en 3 ; f décroît sur ]−∞,3] et croît sur [3,+∞[, avec minimum f(3)=−4. Pour h, h'(x)=−7/(x−3)².

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    f′(x)=2x−4; elle est négative si x<2 et positive si x>2. f décroît jusqu’à 2, puis croît; f(2)=−3.

  2. Exercice 2

    f′=3(x²−1). Elle est positive pour |x|>1 et négative pour −1<x<1; croissance, décroissance, puis croissance.

À retenir

Calculer la dérivée, étudier son signe sur le domaine, puis déduire les variations et les extrema.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

Consulter la référence