LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Convexité et point d'inflexion

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Utiliser le signe de la dérivée seconde pour étudier la convexité.

Identifier un éventuel point d'inflexion.

Introduction

La dérivée seconde fournit des informations sur la courbure du graphe d'une fonction.

Cours

Sur un intervalle où f est deux fois dérivable, si f''(x)>0, la fonction est convexe ; si f''(x)<0, elle est concave. Un point d'inflexion est un point où la convexité change. L'annulation de f'' en un point ne suffit pas à elle seule : il faut étudier le changement de signe de f''. Les résultats s'interprètent sur le graphe, dont la tangente peut traverser la courbe au point d'inflexion.

Méthode guidée

Calculez f′′. Si f′′>0 sur un intervalle, f est strictement convexe; si f′′<0, elle est strictement concave. Pour conclure à un point d’inflexion en a, il faut un changement de convexité de part et d’autre, pas seulement f′′(a)=0.

Exemple résolu pas à pas

Distinguer convexité et point d’inflexion

  1. Prenons f(x)=x³. Alors f′(x)=3x² et f′′(x)=6x.

  2. Pour x<0, f′′<0 : la fonction est concave. Pour x>0, f′′>0 : elle est convexe.

  3. La convexité change en 0 et la courbe passe par (0,0); le point (0,0) est un point d’inflexion.

Conclusion : f(x)=x³ est concave sur ]−∞,0[, convexe sur ]0,+∞[, et a un point d’inflexion en (0,0).

Schéma de méthode

Utilisez ces étapes comme une checklist de résolution.

  1. Calculer

    Déterminer f′′.

  2. Étudier le signe

    Repérer les intervalles où f′′ est positive ou négative.

  3. Conclure

    Convexité si f′′≥0; concavité si f′′≤0.

  4. Point d’inflexion

    Vérifier un changement de signe de f′′.

Exemples guidés

  1. Pour f(x)=x³, f''(x)=6x : la dérivée seconde change de signe en 0, donc l'origine est un point d'inflexion.

Exercices d’application

  1. Étudier la convexité de f(x)=x⁴ sur ℝ et dire si 0 est un point d’inflexion.
  2. Étudier le signe de f′′ pour f(x)=x³−3x.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quelle condition sur f′′ suffit à conclure à la convexité sur un intervalle ?

f′′≥0 sur l’intervalle.

2. f′′(a)=0 implique-t-il un point d’inflexion ?

Non; il faut vérifier un changement de convexité.

Correction

f''(x)=6x ; la fonction est concave sur ]−∞,0[ et convexe sur ]0,+∞[, avec un point d'inflexion d'abscisse 0.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    f′′(x)=12x²≥0 des deux côtés de 0; f est convexe. Il n’y a pas de changement de convexité en 0, donc pas de point d’inflexion.

  2. Exercice 2

    f′′(x)=6x; négative pour x<0, positive pour x>0 : changement de convexité en 0.

À retenir

Calculer la dérivée seconde, dresser son signe et ne conclure à un point d'inflexion qu'en présence d'un changement de convexité.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; vérifier les détails et la progression avec le programme officiel en vigueur et le cours de l'enseignant.

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