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LEÇON · 2BAC

Équations différentielles y′=ay : croissance et décroissance exponentielles

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître une solution de y'=ay.

Utiliser une condition initiale pour déterminer la constante.

Introduction

Certaines évolutions sont modélisées par une fonction dont la dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même.

Cours

Pour une constante réelle a, les solutions de y'=ay sur ℝ sont les fonctions y(x)=Ce^{ax}, où C est une constante réelle. Si une condition y(x₀)=y₀ est donnée, elle permet de déterminer C=y₀e^{−ax₀}. Pour a positif, les solutions non nulles peuvent croître exponentiellement ; pour a négatif, elles décroissent vers zéro. Le modèle doit être justifié par le contexte et ne peut pas être appliqué automatiquement à toute évolution.

Méthode guidée

Ce cours se concentre sur l’interprétation d’un modèle exponentiel issu de y′=ay. Identifiez le signe de a, utilisez y(t)=y₀e^{at}, puis interprétez les unités et l’évolution. Pour a>0, la quantité croît; pour a<0, elle décroît.

Exemple résolu pas à pas

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

  1. Une population initiale de 1 000 individus suit le modèle P′(t)=0,03P(t). La solution est P(t)=Ce^{0,03t}.

  2. P(0)=1 000 donne C=1 000, donc P(t)=1 000e^{0,03t}.

  3. Après 10 unités de temps, P(10)=1 000e^{0,3}≈1 349,86. Le modèle suppose que le taux continu reste constant.

Conclusion : P(t)=1 000e^{0,03t}; après 10 unités de temps, environ 1 350 individus selon ce modèle.

Exemples guidés

  1. Pour y'=2y et y(0)=3, la solution est y=3e^{2x}, car y'=6e^{2x}=2y et y(0)=3.

Exercices d’application

  1. Résoudre N′(t)=−0,2N(t), N(0)=50, puis calculer N(5).
  2. Pour P′=0,04P et P(0)=200, écrire le modèle et calculer P(10).

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Que signale le signe a<0 dans y′=ay ?

Une décroissance exponentielle lorsque y est initialement positive.

2. Quelle différence entre un taux continu a et une hausse discrète de r par période ?

Le modèle continu est e^{at}; un facteur discret par période est généralement 1+r.

Correction

La solution est y=Ce^{−0,5x}. La condition initiale donne C=8, donc y=8e^{−0,5x}.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    N(t)=50e^{−0,2t}; N(5)=50e^{−1}≈18,39.

  2. Exercice 2

    P(t)=200e^{0,04t}; P(10)=200e^{0,4}≈298,36.

À retenir

Vérifier l'équation par dérivation puis utiliser la condition initiale pour fixer la constante.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; vérifier l'alignement avec le programme officiel et le cours de l'enseignant.

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