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LEÇON · 2BAC

Dénombrement : arrangements et combinaisons

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Choisir une méthode de dénombrement adaptée à une situation.

Utiliser les coefficients binomiaux pour compter des choix sans ordre.

Introduction

Avant de calculer une probabilité, il faut parfois dénombrer les issues possibles d'une expérience.

Cours

Si l'ordre compte et que l'on choisit k éléments distincts parmi n sans remise, le nombre d'arrangements est n!/(n−k)!. Si l'ordre ne compte pas, le nombre de combinaisons est C(n,k)=n!/(k!(n−k)!). Le principe multiplicatif permet de compter une succession de choix indépendants : si une première étape a m possibilités et une seconde n, le total est mn. Il faut préciser si la répétition est autorisée et si l'ordre compte.

Méthode guidée

Si l’ordre des personnes ou objets compte, utilisez les arrangements/permutations; si l’on choisit un groupe sans ordre, utilisez les combinaisons C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]. Décrivez la situation avant de choisir la formule.

Exemple résolu pas à pas

Choisir entre arrangements et combinaisons

  1. Choisir 3 élèves parmi 8 pour un comité : l’ordre n’a pas d’importance.

  2. Le nombre de comités est C(8,3)=8×7×6/(3×2×1)=56.

  3. Former un podium de 3 élèves parmi 5 : l’ordre compte; le nombre est 5×4×3=60.

Conclusion : Comité de 3 parmi 8 : 56 possibilités. Podium de 3 parmi 5 : 60 possibilités.

Schéma de méthode

Utilisez ces étapes comme une checklist de résolution.

  1. Décrire

    Le choix forme-t-il un groupe ou une séquence ordonnée ?

  2. Sans ordre

    Utiliser C(n,k)=n!/[k!(n−k)!].

  3. Avec ordre

    Compter les choix successifs en tenant compte des répétitions autorisées.

  4. Vérifier

    Le résultat doit correspondre au type de résultat demandé.

Exemples guidés

  1. Choisir 2 élèves parmi 5 pour former un groupe donne C(5,2)=10 groupes. Désigner un président et un secrétaire parmi 5 donne 5×4=20 choix ordonnés.

Exercices d’application

  1. Combien de groupes de 2 personnes peut-on choisir parmi 7 ?
  2. Combien de codes de 3 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 1 à 5, si l’ordre compte ?

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Pour un comité, l’ordre compte-t-il ?

Non : on utilise une combinaison.

2. Pour un code numérique, l’ordre compte-t-il ?

Oui : les arrangements sont appropriés.

Correction

Pour les codes, l'ordre compte : 4×3=12. Pour les paires, l'ordre ne compte pas : C(4,2)=6.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    C(7,2)=7×6/2=21.

  2. Exercice 2

    5×4×3=60 codes, car l’ordre compte et les chiffres sont distincts.

À retenir

Définir les objets choisis, vérifier l'ordre et la répétition, puis appliquer le principe de dénombrement approprié.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; confronter la progression et les notations au programme officiel en vigueur et au cours de l'enseignant.

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