LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Équations différentielles du type y'=ay

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître une équation différentielle du type y'=ay.

Utiliser une condition initiale pour déterminer une solution particulière.

Introduction

Les équations différentielles relient une fonction inconnue à ses dérivées et modélisent des évolutions continues.

Cours

Pour une constante réelle a, les solutions de y'=ay sur un intervalle sont y(x)=Ce^(ax), où C est une constante réelle. En effet, la dérivée de Ce^(ax) est aCe^(ax). Si y(x0)=y0, alors C=y0e^(−ax0). Pour y'=a y+b avec a non nul, on peut chercher une solution constante y* vérifiant ay*+b=0 puis ajouter la solution de l'équation homogène : y=Ce^(ax)−b/a. Les hypothèses de l'équation et le domaine doivent être respectés.

Méthode guidée

L’équation y′=ay a pour solution générale y(x)=Ce^{ax}. Utilisez la condition initiale y(x₀)=y₀ pour calculer C=y₀e^{−ax₀}, puis dérivez votre solution pour vérifier qu’elle satisfait l’équation.

Exemple résolu pas à pas

Résoudre y′=ay avec une condition initiale

  1. Résolvons y′=2y, y(0)=3. La solution générale est y=Ce^{2x}.

  2. En x=0, y(0)=C=3, donc y(x)=3e^{2x}.

  3. Vérification : y′=6e^{2x}=2(3e^{2x})=2y; et y(0)=3.

Conclusion : y(x)=3e^{2x}.

Exemples guidés

  1. Les solutions de y'=3y sont y=Ce^(3x). Si y(0)=2, alors y=2e^(3x). Pour y'=−2y et y(0)=5, on obtient y=5e^(−2x).

Exercices d’application

  1. Résoudre y′=−3y avec y(0)=4.
  2. Résoudre y′=0,5y avec y(2)=6.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quelle est la solution générale de y′=ay ?

y=Ce^{ax}.

2. Comment déterminer C ?

Substituer la condition initiale dans la solution générale.

Correction

La solution générale est Ce^(−3x). La condition y(0)=7 donne C=7, donc y=7e^(−3x). Sa dérivée vaut −21e^(−3x)=−3y.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    y=Ce^{−3x}; y(0)=4 impose C=4, donc y=4e^{−3x}.

  2. Exercice 2

    y=Ce^{0,5x}; 6=Ce¹ donc C=6/e et y(x)=6e^{0,5(x−2)}.

À retenir

Écrire la forme générale, dériver pour vérifier, puis appliquer la condition initiale sans perdre le facteur exponentiel.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale alignée sur des notions courantes du lycée qualifiant marocain ; vérification finale avec le programme officiel et le cours de l'enseignant recommandée.

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