LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Continuité d'une fonction sur un intervalle

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Interpréter la continuité à partir d'un graphe et de la définition intuitive.

Utiliser un résultat de continuité pour justifier l'existence d'une solution.

Introduction

La continuité formalise l'idée qu'une fonction ne présente pas de rupture sur l'intervalle étudié.

Cours

Une fonction est continue en a si sa limite en a est égale à sa valeur f(a). Sur un intervalle, la continuité permet d'appliquer des théorèmes d'existence. En particulier, si f est continue sur [a,b] et si une valeur k est comprise entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c de [a,b] tel que f(c)=k. Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, une fonction continue possède au moins une racine entre a et b. L'existence ne prouve pas à elle seule l'unicité.

Méthode guidée

Une fonction continue sur un intervalle a une image qui est un intervalle. Sur un segment [a,b], elle atteint un minimum et un maximum; si elle est monotone croissante, son image est [f(a),f(b)]. Distinguez l’image de l’existence d’une solution garantie par le TVI.

Exemple résolu pas à pas

Déterminer l’image d’un segment par continuité

  1. Soit f(x)=x² sur [−2,3]. La fonction est continue et son minimum sur le segment vaut 0, atteint en x=0.

  2. Le maximum vaut 9, atteint en x=3.

  3. Donc l’image de [−2,3] est [0,9], et non [f(−2),f(3)]=[4,9].

Conclusion : f([−2,3])=[0,9].

Exemples guidés

  1. Pour f(x)=x²−2 sur [1,2], f(1)=−1 et f(2)=2. La continuité garantit une solution de f(x)=0 dans ]1,2[.

Exercices d’application

  1. Déterminer l’image de [1,9] par f(x)=√x.
  2. Déterminer l’image de [−1,2] par f(x)=x².

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Pourquoi f([−2,3]) n’est-elle pas [4,9] pour f(x)=x² ?

Parce que le minimum 0 est atteint en x=0 à l’intérieur du segment.

2. Quelle propriété garantit que l’image d’un segment par une fonction continue est un intervalle ?

Le théorème des valeurs intermédiaires, avec l’atteinte des bornes par continuité sur un segment.

Correction

Comme 0 est compris entre −3 et 5, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution dans [0,2]. Sans information supplémentaire, on ne peut pas affirmer qu'elle est unique.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    √x est croissante et continue; l’image est [1,3].

  2. Exercice 2

    Le minimum est 0 en x=0, le maximum 4 en x=2; l’image est [0,4].

À retenir

Vérifier la continuité sur l'intervalle, calculer les valeurs aux bornes, puis distinguer existence et unicité.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; confirmer les attendus et la progression auprès du programme officiel en vigueur et de l'enseignant.

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