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LEÇON · 2BAC

Primitives et calcul intégral

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître une primitive d'une fonction.

Calculer une intégrale définie à partir d'une primitive.

Introduction

Une primitive inverse le processus de dérivation : sa dérivée redonne la fonction étudiée.

Cours

F est une primitive de f sur un intervalle si F'=f. Les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Exemples : une primitive de xⁿ (n≠−1) est xⁿ⁺¹/(n+1), et une primitive de 1/x sur ]0,+∞[ est ln x. Si F est une primitive de f sur [a,b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a). L'intégrale est une aire algébrique : les parties situées sous l'axe sont comptées négativement.

Méthode guidée

Trouvez une primitive F de f, puis utilisez ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Gardez les parenthèses lors de la substitution des bornes et vérifiez le résultat par dérivation de F.

Exemple résolu pas à pas

Calculer une intégrale définie par primitive

  1. Calculons ∫₁²(2x+3)dx. Une primitive est F(x)=x²+3x.

  2. Évaluer aux bornes : F(2)−F(1)=(4+6)−(1+3).

  3. La différence vaut 10−4=6.

Conclusion : ∫₁²(2x+3)dx=6.

Exemples guidés

  1. ∫₀² 2x dx=[x²]₀²=4.
  2. ∫₁ᵉ 1/x dx=[ln x]₁ᵉ=1.
  3. Une primitive de 3x²−2 est x³−2x.

Activités d’apprentissage

  1. Trouver une primitive de 4x³+2.
  2. Calculer ∫₀¹(3x²+1)dx.
  3. Expliquer pourquoi l'intégrale peut être négative.

Exercices d’application

  1. Calculer ∫₀³(2x+1)dx.
  2. Calculer ∫₀¹3x²dx.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quel ordre appliquer aux bornes ?

Primitive à la borne supérieure moins primitive à la borne inférieure.

2. Quel effet la constante C a-t-elle sur F(b)−F(a) ?

Aucun : elle s’annule dans la différence.

Correction

La première intégrale vaut [x²]₁³=9−1=8. La seconde vaut [x²/2−2x]₀¹=1/2−2=−3/2.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    Une primitive est x²+x; la différence vaut (9+3)−0=12.

  2. Exercice 2

    Une primitive est x³; la différence vaut 1−0=1.

À retenir

Chercher une primitive correcte, appliquer F(b)−F(a), et distinguer aire géométrique et aire algébrique.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

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