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LEÇON · 2BAC

Nombres complexes : forme algébrique et module

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Effectuer des calculs en forme algébrique.

Calculer le module et interpréter un nombre complexe dans le plan.

Introduction

Les nombres complexes étendent les réels et permettent notamment de résoudre des équations sans solution réelle.

Cours

Un nombre complexe s'écrit z=a+ib, où a et b sont réels et i²=−1. Sa partie réelle est a et sa partie imaginaire est b. Le conjugué est z̄=a−ib et le module vaut |z|=√(a²+b²). Pour diviser par un complexe non nul, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Dans le plan complexe, z=a+ib est représenté par le point de coordonnées (a,b), et |z| représente la distance à l'origine.

Méthode guidée

Pour z=a+ib, la partie réelle est a et la partie imaginaire est b. Le conjugué est a−ib, et le module vaut √(a²+b²). Utilisez z·conj(z)=|z|² pour simplifier certains quotients.

Exemple résolu pas à pas

Calcul algébrique et module d’un complexe

  1. Pour z=3−4i, Re(z)=3, Im(z)=−4 et le conjugué est z̄=3+4i.

  2. Le module vaut |z|=√(3²+(−4)²)=5.

  3. Calculons z(1+i)=(3−4i)(1+i)=3+3i−4i−4i²=7−i puisque i²=−1.

Conclusion : |3−4i|=5 et (3−4i)(1+i)=7−i.

Exemples guidés

  1. (2+3i)+(1−i)=3+2i.
  2. (2+i)(2−i)=5.
  3. |3−4i|=5.

Activités d’apprentissage

  1. Calculer (1+2i)².
  2. Déterminer le conjugué et le module de −5+12i.
  3. Représenter 2−i dans le plan complexe.

Exercices d’application

  1. Calculer le module et le conjugué de z=−5+12i.
  2. Mettre (2+i)/(1−i) sous forme algébrique.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Que vaut i² ?

−1.

2. Comment calculer |a+ib| ?

√(a²+b²).

Correction

(3+i)/(1−i)=(3+i)(1+i)/2=(2+4i)/2=1+2i. Dans la seconde équation, z=3−3i.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    z̄=−5−12i et |z|=√(25+144)=13.

  2. Exercice 2

    Multiplier en haut et en bas par 1+i : (2+i)(1+i)/2=(1+3i)/2. Donc le résultat est 1/2+3i/2.

À retenir

Utiliser i²=−1, le conjugué pour les quotients et |a+ib|=√(a²+b²) pour le module.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

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