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LEÇON · 2BAC

Probabilités conditionnelles et indépendance

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Calculer une probabilité conditionnelle.

Reconnaître l'indépendance de deux événements.

Introduction

Une probabilité conditionnelle tient compte d'une information déjà connue sur la réalisation d'un événement.

Cours

Si P(B)>0, alors P(A|B)=P(A∩B)/P(B). La formule du produit donne P(A∩B)=P(B)P(A|B). A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)P(B), équivalemment P(A|B)=P(A) si P(B)>0. Dans un arbre pondéré, les probabilités le long d'un chemin se multiplient et les chemins incompatibles menant au même événement s'additionnent.

Méthode guidée

La probabilité conditionnelle se définit par P(B|A)=P(A∩B)/P(A), si P(A)>0. Pour tester l’indépendance, vérifiez P(B|A)=P(B) ou P(A∩B)=P(A)P(B). Attention : les tirages sans remise changent les probabilités.

Exemple résolu pas à pas

Distinguer probabilité conditionnelle et indépendance

  1. Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules sans remise. A = « la première est rouge », B = « la seconde est rouge ».

  2. P(A)=3/5. Après avoir tiré une rouge, il reste 2 rouges parmi 4 boules, donc P(B|A)=2/4=1/2.

  3. Sans condition, la deuxième position est rouge avec probabilité P(B)=3/5. Puisque 1/2≠3/5, A et B ne sont pas indépendants.

Conclusion : P(B|A)=1/2, tandis que P(B)=3/5 : les événements sont dépendants.

Exemples guidés

  1. Si P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,1, alors P(A|B)=0,25.
  2. Si P(A)=0,3, P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,15, les événements sont indépendants.

Activités d’apprentissage

  1. Construire un arbre pour deux tirages successifs avec remise.
  2. Distinguer P(A|B) de P(B|A).
  3. Vérifier l'indépendance à l'aide de la formule du produit.

Exercices d’application

  1. Dans un jeu de 52 cartes, calculer P(la 2e carte est un as | la 1re carte est un as), sans remise.
  2. Si P(A)=0,4, P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2, A et B sont-ils indépendants ?

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quand P(B|A)=P(B) avec P(A)>0, que peut-on conclure ?

A et B sont indépendants.

2. Pourquoi une condition change-t-elle la probabilité après un tirage sans remise ?

Le premier tirage modifie le nombre de cartes/boules disponibles.

Correction

P(A|B)=0,06/0,2=0,3. Comme 0,4×0,7=0,28=P(A∩B), les événements sont indépendants.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    Après un as au premier tirage, 3 as restent sur 51 cartes : P=3/51=1/17.

  2. Exercice 2

    P(A)P(B)=0,4×0,5=0,2=P(A∩B); les événements sont indépendants.

À retenir

Lire soigneusement la condition, diviser par P(B) pour la probabilité conditionnelle et comparer P(A∩B) au produit pour l'indépendance.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale, à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

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