LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Fonctions logarithme népérien et exponentielle

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Utiliser les propriétés du logarithme népérien.

Résoudre des équations et inéquations simples faisant intervenir ln et exp.

Introduction

Le logarithme népérien et l'exponentielle sont des fonctions réciproques sur leurs domaines respectifs et interviennent dans de nombreux modèles de croissance.

Cours

La fonction ln est définie sur ]0,+∞[, strictement croissante, et ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(a^r)=r ln(a) pour a,b>0. On a ln(1)=0 et ln(e)=1. La fonction exponentielle est définie sur ℝ, strictement croissante, et exp(x+y)=exp(x)exp(y), exp(ln x)=x pour x>0 et ln(exp x)=x. Pour résoudre ln(f(x))=k, imposer d'abord f(x)>0 puis utiliser l'équivalence f(x)=e^k. Le domaine de définition doit toujours être indiqué.

Méthode guidée

Pour ln(u), imposez d’abord u>0. Utilisez ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a−ln b et ln(eˣ)=x. L’exponentielle conserve l’ordre et vérifie e^{ln u}=u pour u>0.

Exemple résolu pas à pas

Résoudre avec ln et exp en respectant le domaine

  1. Résolvons ln(x−1)=0. Le domaine impose x−1>0, donc x>1.

  2. Comme ln(u)=0 équivaut à u=1 pour u>0, x−1=1.

  3. On obtient x=2, qui respecte bien x>1.

Conclusion : L’unique solution est x=2.

Exemples guidés

  1. ln(3x−1) est définie lorsque x>1/3.
  2. ln(x)=2 équivaut à x=e².
  3. e^(2x)=e³ équivaut à x=3/2.

Activités d’apprentissage

  1. Déterminer le domaine de ln(2x+5).
  2. Simplifier ln(4)+ln(5) et ln(e³).
  3. Résoudre ln(x−1)=0.

Exercices d’application

  1. Résoudre e^x=5.
  2. Résoudre e^{2x}=7.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quel est le domaine de ln(x−1) ?

x>1.

2. Quel est l’équivalent de ln(u)=0 lorsque u>0 ?

u=1.

Correction

ln(2x)=ln(6) impose x>0 puis 2x=6, donc x=3. e^(x−2)=1=e⁰ donne x=2.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    Appliquer ln aux deux membres donne x=ln 5.

  2. Exercice 2

    Prendre ln des deux côtés : 2x=ln 7; x=(ln 7)/2.

À retenir

Respecter le domaine du logarithme, utiliser les identités de ln et exp et exploiter leur stricte croissance pour résoudre les équations.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale à confronter au programme officiel et au cours de l'enseignant

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