LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Loi binomiale : répétition d'épreuves indépendantes

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Vérifier les conditions d'un schéma de Bernoulli.

Calculer une probabilité binomiale et l'espérance associée.

Introduction

La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors d'un nombre fixé d'épreuves identiques et indépendantes.

Cours

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès de probabilité p et échec de probabilité 1−p. Pour n épreuves indépendantes, la variable X comptant les succès suit B(n,p). Pour k de 0 à n, P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k). Son espérance vaut E(X)=np et sa variance n p(1−p). Avant d'utiliser la formule, vérifier le nombre fixe d'épreuves, l'indépendance et la probabilité de succès constante.

Méthode guidée

Une loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès dans n épreuves indépendantes, chacune avec la même probabilité p. Pour exactement k succès, P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}; l’espérance vaut np.

Exemple résolu pas à pas

Calculer une probabilité binomiale

  1. Un tir réussi a une probabilité p=0,2 et on tire 5 fois indépendamment. Si X compte les réussites, X suit B(5;0,2).

  2. P(X=2)=C(5,2)×0,2²×0,8³.

  3. C(5,2)=10, donc P(X=2)=10×0,04×0,512=0,2048.

Conclusion : P(X=2)=0,2048, soit 20,48 %; E(X)=np=1.

Exemples guidés

  1. Pour X~B(4,0,5), P(X=2)=C(4,2)(0,5)^4=6/16=0,375. L'espérance vaut 4×0,5=2 succès.

Exercices d’application

  1. Si X suit B(4;0,3), calculer P(X=0).
  2. Si X suit B(10;0,1), calculer son espérance.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quelle est l’espérance de B(n,p) ?

np.

2. Que représente (1−p)^{n−k} dans P(X=k) ?

La probabilité des n−k échecs dans l’événement avec exactement k succès.

Correction

X suit B(3,0,7). P(X=2)=C(3,2)×0,7²×0,3=0,441. Pour la pièce, P(X=0)=(0,5)^5=1/32.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    P(X=0)=C(4,0)×0,3⁰×0,7⁴=0,2401.

  2. Exercice 2

    E(X)=np=10×0,1=1.

À retenir

Nommer la variable, vérifier les conditions binomiales, préciser n et p, puis calculer la probabilité demandée.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale alignée sur des notions courantes du lycée qualifiant marocain ; vérification finale avec le programme officiel et le cours de l'enseignant recommandée.

Consulter la référence