LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Résoudre des équations logarithmiques

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Utiliser les propriétés du logarithme népérien en respectant son domaine.

Transformer une équation logarithmique en équation algébrique lorsque c'est possible.

Introduction

Les équations avec logarithmes se résolvent en combinant les propriétés algébriques et les conditions de définition.

Cours

La fonction ln(x) n'est définie que pour x>0. On a ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour a,b positifs et ln(a^r)=r ln(a) lorsque les conditions sont satisfaites. Comme ln est strictement croissante, ln(u)=ln(v) équivaut à u=v si u et v sont positifs. Après résolution, il faut toujours vérifier que chaque expression logarithmique est définie et que les solutions respectent le domaine initial.

Méthode guidée

Avant de transformer l’équation, déterminez le domaine de chaque logarithme. Utilisez ln A+ln B=ln(AB) seulement si A>0 et B>0. Après avoir résolu l’équation algébrique obtenue, éliminez toute solution hors domaine.

Exemple résolu pas à pas

Résoudre une équation logarithmique avec contrôle du domaine

  1. Résolvons ln(x−1)+ln(x+1)=ln 3. Le domaine impose x−1>0 et x+1>0, donc x>1.

  2. On peut combiner les logarithmes : ln((x−1)(x+1))=ln 3, donc x²−1=3.

  3. x²=4 donne x=±2; seul x=2 respecte x>1.

Conclusion : L’unique solution est x=2.

Exemples guidés

  1. ln(x)=ln(5) donne x=5, admissible. ln(x−1)=0 donne x−1=1, donc x=2, avec x>1 respecté.

Exercices d’application

  1. Résoudre ln(2x−1)=0.
  2. Résoudre ln x=ln(5−x).

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quel contrôle précède toute équation contenant ln(x−1) ?

Imposer x−1>0, donc x>1.

2. Pourquoi doit-on rejeter x=−2 dans l’exemple ?

Parce qu’il ne respecte pas le domaine x>1.

Correction

Le domaine est x>1. On obtient ln(x(x−1))=ln(6), donc x²−x−6=0, soit (x−3)(x+2)=0. Seul x=3 appartient au domaine.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    x>1/2; 2x−1=1, donc x=1.

  2. Exercice 2

    Le domaine impose 0<x<5. L’injectivité de ln donne x=5−x, soit x=5/2.

À retenir

Toujours déterminer le domaine de définition avant de simplifier les logarithmes et filtrer les solutions finales.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; vérifier l'alignement final avec le programme officiel en vigueur et le cours de l'enseignant.

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