LycéeBac

LEÇON · 2BAC

Primitives d'une fonction usuelle

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître une primitive à l'aide de sa dérivée.

Déterminer une primitive en tenant compte de la constante additive.

Introduction

Une primitive transforme un problème de dérivation en recherche d'une fonction dont la dérivée est connue.

Cours

Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle si F'=f sur cet intervalle. Si F est une primitive, toutes les fonctions F+C sont aussi des primitives sur l'intervalle. Des règles usuelles inversent les formules de dérivation : une primitive de xⁿ, pour n différent de −1, est xⁿ⁺¹/(n+1) ; une primitive de 1/x sur un intervalle ne contenant pas 0 est ln|x|. Les domaines et les constantes doivent être respectés.

Méthode guidée

Pour trouver une primitive, utilisez les formes usuelles et linéarisez somme et facteurs constants. Écrivez toujours +C pour la famille générale, puis dérivez le résultat pour le vérifier.

Exemple résolu pas à pas

Construire et vérifier une primitive

  1. Cherchons une primitive de f(x)=6x²−4x+1 terme par terme.

  2. ∫6x²dx=2x³, ∫−4x dx=−2x² et ∫1dx=x.

  3. La famille des primitives est F(x)=2x³−2x²+x+C. Sa dérivée redonne f.

Conclusion : F(x)=2x³−2x²+x+C.

Exemples guidés

  1. Une primitive de 3x² est x³+C, car la dérivée de x³+C est 3x².

Exercices d’application

  1. Déterminer une primitive de 4x³−2x+5.
  2. Déterminer les primitives de 1/√x sur ]0,+∞[.

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Pourquoi ajouter une constante C ?

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante sur un intervalle.

2. Comment vérifier une primitive proposée ?

La dériver et retrouver l’expression de départ.

Correction

F(x)=x²+5x+C convient, car F'(x)=2x+5.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    F(x)=x⁴−x²+5x+C.

  2. Exercice 2

    Sur x>0, ∫x^(−1/2)dx=2√x+C.

À retenir

Après avoir proposé une primitive, dériver l'expression obtenue pour contrôler chaque terme et conserver la constante additive.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; vérifier la correspondance finale avec les attendus du programme officiel et le cours de l'enseignant.

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