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LEÇON · 2BAC

Limites et composition de fonctions

mathematiques-biofContenu pédagogique original

Objectifs d’apprentissage

Calculer des limites simples à l'aide des limites usuelles.

Justifier une limite de fonction composée lorsque les conditions du théorème sont réunies.

Introduction

Les limites permettent de décrire le comportement d'une fonction près d'un point ou lorsque la variable devient très grande.

Cours

Pour une composée f(g(x)), l'étude de la limite peut utiliser la limite de g(x) puis le comportement de f au point atteint, si les hypothèses nécessaires sont vérifiées. Les limites usuelles et les règles sur les sommes, produits et quotients s'appliquent lorsque leurs conditions sont satisfaites. Une forme indéterminée ne permet pas de conclure directement : il faut transformer l'expression, factoriser ou utiliser une méthode adaptée. Le domaine de définition reste essentiel.

Méthode guidée

Pour une composée f(g(x)), calculez d’abord la limite de g(x). Si g(x)→ℓ et f est continue en ℓ, alors f(g(x))→f(ℓ). Vérifiez le domaine de la composée avant d’appliquer le théorème.

Exemple résolu pas à pas

Calculer la limite d’une fonction composée

  1. Calculons limₓ→1 √(3x+6). La fonction intérieure g(x)=3x+6 tend vers 9.

  2. La fonction racine carrée est continue en 9 et l’argument reste positif près de x=1.

  3. La limite vaut donc √9=3.

Conclusion : limₓ→1 √(3x+6)=3.

Exemples guidés

  1. Quand x tend vers +∞, 1/x tend vers 0 ; ainsi 3+1/x tend vers 3. Mais une expression de type ∞−∞ doit être réécrite avant de conclure.

Exercices d’application

  1. Calculer limₓ→2 ln(x+1).
  2. Calculer limₓ→1 √(x²+8).

Vérifie que tu as compris

Réponds d’abord sans regarder, puis ouvre la réponse pour te corriger.

1. Quelle est la première étape pour une composée f(g(x)) ?

Calculer la limite de la fonction intérieure g(x).

2. Quand peut-on conclure f(g(x))→f(ℓ) si g(x)→ℓ ?

Lorsque f est définie et continue en ℓ.

Correction

5/x tend vers 0, donc 2+5/x tend vers 2.

Corrigés des exercices d’application

  1. Exercice 1

    Le logarithme est continu en 3, donc la limite vaut ln 3.

  2. Exercice 2

    Le radicand tend vers 9 et reste positif; la limite vaut 3.

À retenir

Vérifier les hypothèses des règles de limites et traiter toute forme indéterminée avant d'annoncer un résultat.

Référence pédagogique

Leçon pédagogique originale ; vérifier l'alignement avec le programme officiel et le cours de l'enseignant.

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